证明不的你等式成立，其中a不等于b

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=e^x

f(a)=e^a  f(b)=e^b

g(x)=[(e^b-e^a)/(b-a)](x-a)+ e^a（x∈﹙a,b﹚）

令M(x)=g(x)-f(x)=(e^b - e^a) [(x-a)/(b-a)]+ e^a-e^x（x∈﹙a,b﹚）

=[(x-a)e^b+(a-b)e^x+(b-x)e^a] /(x-a)²(b-a)（分母大于0，不去管它）

M’=e^b-e^a+(a-b)e^x

e^b-e^a+(a-b)e^x=0  x=ln[(e^b-e^a)/(b-a)]

e^b-e^a+(a-b)e^x>0  x<ln[(e^b-e^a)/(b-a)]

e^b-e^a+(a-b)e^x<0  x>ln[(e^b-e^a)/(b-a)]

又因为M(a)=M(b)=0

可见M在(a,ln﹙e^b - e^a﹚/﹙b-a﹚]上递增，在[(ln﹙e^b - e^a﹚/﹙b-a﹚，b)上递减

∴M(x)> M(a)=M(b)=0（x∈﹙a,b﹚）

即g(x)>f(x)（x∈﹙a,b﹚）

∴∫_a^bg(x)dx>∫_a^bf(x)dx（x∈﹙a,b﹚）（∫_a^bg(x)这块积分展开很麻烦，不好算，你可以借助图像和积分的几何定义直接得出积分结果，就是梯形的面积）

即(e^b+e^a)(b-a)/2>e^b-e^a

(e^b-e^a)/(b-a)<(e^b+e^a)/2

 

这个题实际上是让证明曲线e^x围成的面积比直线围成的面积小，这个在图像上一眼就能看出来，相差就是绿色那一部分。证明的话就得做差求导之类的证明曲线e^x的函数值小 相当麻烦

 

第二种方法 这个简单但是不常见，对e^x求一阶二阶导数>0（e^x）’=（e^x）’’=e^x>0,所以图像上凹，所以S曲线围成<S直线围成：S曲线围成=∫_a^be^xdx，S直线围成=梯形面积，后面的同上(e^b+e^a)(b-a)/2>e^b-e^a

(e^b-e^a)/(b-a)<(e^b+e^a)/2

Answer 2

假定a < b, 设某直线经过两点(a, e^a), (b, e^b) 则当 a < x < b, 直线上的点大于e^x上的点
直线与x轴围成的面积为(b - a)*(e^a + e^b)/2, 梯形面积公式
函数e^x与轴围成的面积为e^b - e^a
因为当 a < x < b, 直线上的点大于e^x上的点, 所以梯形面积较大，于是得证。

如果是大学学生，应该比较容易。本回答被网友采纳