函数fx具有一阶连续导数，证明Fx=(1+|sinx|)f(x)在x=0处可导的充要条件是f（0）

Question

函数fx具有一阶连续导数，证明Fx=(1+|sinx|)f(x)在x=0处可导的充要条件是f（0）=0。
求大神帮忙！

Answer 1

充分性。
若f(0)=0, 则F'(0)=lim(h->0)[(1+|sinh|)f(h)]/h=lim(h->0)f(h)/h=f'(0)
即充分性成立。

必要性。
若F'(0)存在，有F'(0)=lim(h->0)[(1+|sinh|)f(h)-f(0)]/h=lim(h->0)[(f(h)-f(0))/h+|sinh|f(h)/h]
=f'(0)+lim(h->0)|sinh|/h* f(h)
若f(0)≠0,则
在x=0的左邻域，lim|sinh|/h=-1, 因此有F'(0-)=f'(0)-f(0)
在x=0的右邻域，lim|sinh|/h=1,因此有F'(0+)=f'(0)+f(0)
这样F'(0-)≠F'(0+), 因此F'(0)不存在，矛盾。
因此必要性成立。追问

谢谢！看懂了！