一到高中数学题 关于椭圆(最好有详解 谢谢!)

Question

设椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1 F2 椭圆的圆心率为1/2 连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4√3
1)求椭圆C的方程
2)过右焦点F2做斜率为k的直线l与椭圆C交M N两点 ,则在y轴上是否存在点P(0,m),是的以PM PN为领边的平行四边形是菱形?如果存在,m的取值范围?不存在请说明理由.

Answer 1

2ab=4√3

e=c/a=1/2

解得a=2,b=√3

椭圆方程为：x²/4+y²/3=1

设直线方程y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为H(x3,y3)

以PM PN为领边的平行四边形是菱形→PM=PN，即P是MN中垂线与y轴交点


直线与椭圆相交→(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0→Δ>0得k∈R

x1+x2=8k²/(4k²+3)

得x3=(x1+x2)/2=4k²/(4k²+3)

y3=k(x3-1)=-3k/(4k²+3)

①k≠0时

PH⊥MN，得PH的斜率为-1/k

得直线PH方程为：y+3k/(4k²+3)=(-1/k)[x-4k²/(4k²+3)]

即y=-(1/k)x+k/(4k²+3)

所以m=k/(4k²+3)得-√3/12≤m<0或0<m<√3/12

②k=0时，M,N为椭圆左右端点，此时y轴上任意非原点的点都满足条件

得m≠0

所以当k∈R时，m的取值范围是m≠0

Answer 2

1)c/a=1/2,a^2=4c^2,b^2=3c^2,
2ab=4√3，∴(ab)^2=12=12c^4,c=1,
∴椭圆方程是x^2/4+y^2/3=1.①
2)l:y=k(x-1),②
代入①*12,3x^2+4k^2(x^2-2x+1)=12,
整理得(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=8k^2/(3+4k^2),x1x2=(4k^2-12)/(3+4k^2),P(0,m),
以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，
<==>PM^2=PN^2,P,M,N不共线，
<==>x1^2+(y1-m)^2=x2^2+(y2-m)^2,m≠-k,(由②)
<==>x1^2-x2^2=(y2-m)^2-(y1-m)^2,
<==>(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2-2m)(y2-y1)=[k(x1+x2-2)-2m]*k(x2-x1),x1≠x2,
∴x1+x2=-k[k(x1+x2-2)-2m],
∴2km=(1+k^2)(x1+x2)-2k^2=8k^2(1+k^2)/(3+4k^2)-2k^2=2k^2/(3+4k^2),
k=0时m≠0；
k≠0时m=k/(3+4k^2),
∴|m|<=1/(4√3),当k=土√3/2时取等号，m≠-k,
m的取值范围是[-√3/12，0)∪(0,√3/12].
当k∈R时，m的取值范围是{m|m≠0}.本回答被网友采纳