线性插值法的解释

Question

如题所述

Answer 1

线性插值是数学、计算机图形学等领域广泛使用的一种简单插值方法
假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的y值。
根据图中所示，假设AB上有一点（x,y），可作出两个相似三角形，我们得到（y-y0)/(y1-y0)=(x0-x)/(x0-x1)
假设方程两边的值为α，那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到α的值
α=(x-x0)/(x1-x0)
同样，α=(y-y0)/(y1-y0)
这样，在代数上就可以表示成为：
y = (1- α)y0 + αy1
或者，
y = y0 + α(y1 - y0)
这样通过α就可以直接得到 y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且α也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插—参见 外插值。
已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。
双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。 假如我们想得到未知函数 f 在点 P = (x, y) 的值，假设我们已知函数 f 在 Q11 = (x1, y1)、Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) 以及 Q22 = (x2, y2) 四个点的值。首先在 x 方向进行线性插值，然后在 y 方向进行线性插值。与这种插值方法名称不同的是，这种插值方法并不是线性的，而是是两个线性函数的乘积。线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值，然后进行 x 方向的插值，所得到的结果是一样的。