如何判断函数在一点是否连续和可导

Question

如题所述

Answer 1

一个函数在某一区间上连续（可导）指的是该函数在此区间的任意一点上连续（可导）。

至于判断在某一点上函数是否连续或可导，即判断某个极限是否存在。

判断函数f在点x0处是否连续，即判断极限lim(x--x0)f(x)是否存在且等于f(x0)。

判断函数f在点x0处是否可导，即判断极限lim(dx--0)(f(x+dx)-f(x))/dx是否存在。

对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

设函数  在点  的某个邻域内有定义，如果有  ，则称函数在点  处连续，且称 为函数的的连续点。

一个函数在开区间  内每点连续，则为在  连续，若又在  点右连续，  点左连续，则在闭区间  连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。

显然，由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

扩展资料：

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

间断有以下三种情况：

1.在点  处  没有定义，在  为发散状态（y=tanx在x=kπ+π/2处无定义，并且在x=kπ+π/2处发散到无穷大）；

2.在  无定义，趋近与  时连续波动（y=sin(1/x)在x=0处无定义，并且在0的某个去心邻域内无限振荡）；

3.虽然  有定义，且  存在，但不等于  （分段函数在x=0处的左右极限都存在，但不等于f(0)）。

参考资料：百度百科——可导函数

参考资料：百度百科——连续函数

Answer 2

如何证明函数可导呢？函数的连续性和可导性，数学讲解。

Answer 3

1、函数连续性的精确定义：
如果对于任意不论多么小的正数e，总能找到一个正数o（依赖于e），使得对满足不等式
|x-x0|<e
的所有x都有
|f(x)-f(x0)|<e
那么就说函数f(x)在x=x0是连续的
【依赖于的意思是通过e得到o，例如o=e^3，注意这种关系不能倒过来】
【形象地说就是没有断点】
2、可导性【也叫可微性】的定义：
如果差商
[f(x0+d)-f(x0)]/d
当d不论从哪边趋于0时，都有唯一的极限f'(x0)，那么就说函数f(x)在x=x0是可微的
【形象地说就是光滑】
3、连续是可导的必要不充分条件
要判断函数在一点是否连续 要用极限的方法 就是这点左极限和右极限是否相等 相等就是连续的
要判断是否可导.是可导必定连续 如果不是连续 就不可导 如果连续 在求这点的左导数 和右导数 相等就是可导 不相等不可导本回答被网友采纳

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