设有n维向量组A:a1,a2;向量组B:a1,a2,a3;向量组C:a1,a2,a4的秩为R（A）

Question

设有n维向量组A:a1,a2;向量组B:a1,a2,a3;向量组C:a1,a2,a4的秩为R（A）=R（B）=2.R（C）=3,
求向量组D:a1,a2,2a3-3a4的秩 (在线等待保证及时采纳)

Answer 1

由R（A）=R（B）=2.知a1,a2线性无关，a3可用a1,a2线性表示，设a3=xa1+ya2,由R(C)=3知a1,a2,a4线性无关，①
设ua1+va2+w(2a3-3a4)=0,则
ua1+va2+w(2xa1+2ya2-3a4)=0,
整理得(u+2wx)a1+(v+2wy)a2-3wa4=0,
由①，u+2wx=v+2wy=-3w=0,
解得w=0,u=0,v=0,
∴a1,a2,2a3-3a4线性无关，
∴a1,a2,2a3-3a4的秩是3：R(D)=3.

Answer 2

R(A)=0, 说明 a1,a2 线性无关

R(B)=2, 说明 a1,a2,a3 线性相关

所以 a3 可由 a1,a2 线性表示 (定理)

R(C)= 3, 说明 a1,a2,a4 线性无关

所以 a4 不能由 a1,a2 线性表示

所以 2a3-3a4 a4 不能由 a1,a2 线性表示
所以 R(D)= 3

Answer 3

由R(C)=3知a1,a2,a4线相关，