设f(x)上任意一点P(x0,y0)关于点(a,b)对称的点为Q(x,y),
则x0+x=2a,y0+y=2b
有x0=2a-x,y0=2b-y
因为P(x0,y0)是f(x)图像上任意一点,所以y0=f(x0),即有2b-y=f(2a-x)
所以f(x)关于点(a,b)对称的表达式是y=2b-f(2a-x)
中心对称的性质:
1、关于中心对称的两个图形是全等形。
2、关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
3、关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。
识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点,使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。
函数关于点对称是指函数图像关于某个点对称,也就是说,如果点 (a, b) 在函数图像上,则点 (2a, 2b) 也在函数图像上,或者换句话说,如果点 (x, y) 在函数图像上,则点 (2a-x, 2b-y) 也在函数图像上。
对于一般函数 f(x),如果函数关于点 (a, b) 对称,则有以下对称公式:
关于 x = a 对称:
函数关于 x = a 对称,意味着 f(x) = f(2a - x)。这意味着当 x 等于 a 时,函数值等于 b;当 x 等于 2a - a = a 时,函数值也等于 b。
关于 y = b 对称:
函数关于 y = b 对称,意味着 f(x) = 2b - f(x)。这意味着当 x 等于 a 时,函数值等于 b;当 x 等于 a 时,函数值也等于 2b - b = b。
关于原点对称:
函数关于原点对称,意味着 f(x) = f(-x) 和 f(0) = 0。这意味着当 x 等于 a 时,函数值等于 b;当 x 等于 -a 时,函数值也等于 b。同时,原点 (0, 0) 也在函数图像上。
需要注意的是,对于特定函数,可能存在多个点对称。这些对称可以通过上述对称公式来表示。在函数图像的绘制和分析中,点对称的性质对于简化问题和寻找对称轴等方面都有重要意义。
①知识点定义来源&讲解:
函数关于点的对称性是函数图像在某个点处表现出左右对称的性质。当一个函数关于某点对称时,该点被称为对称中心。以对称中心为中心,函数图像在两侧是一样的,即在关于对称中心的左右两侧的函数值相等。
函数关于点对称的概念源自数学中对对称性的研究。在函数图像的研究中,研究函数的对称性有助于理解和描述函数的特征。
②知识点运用:
函数关于点对称的概念常用于函数图像的研究、图形的绘制和问题的求解。通过识别函数关于点对称的特点,可以简化函数的表达式、分析函数图像的性质、研究函数的变化规律等。
对称性有助于简化问题,减少运算量,并提供更直观的几何解释。
③知识点例题讲解:
例1:判断函数 y = x^2 是否关于原点对称。
解析:原点 (0, 0) 是函数 y = x^2 的一个解。将函数的自变量取负值,即计算函数在 (-x) 时的函数值,可以发现 y = (-x)^2 = x^2,即在原点两侧的函数值相等。因此,函数 y = x^2 关于原点对称。
例2:判断函数 y = sin(x) 是否关于 y 轴对称。
解析:将函数的自变量取负值,即计算函数在 (-x) 时的函数值,可以发现 y = sin(-x) = -sin(x)。即在 y 轴两侧的函数值相反。因此,函数 y = sin(x) 不关于 y 轴对称。
例3:判断函数 y = 1/x 是否关于直线 y = x 对称。
解析:将函数的自变量和因变量互换,即将 x 替换为 y,y 替换为 x,可以得到 x = 1/y。这相当于将函数图像绕直线 y = x 进行对称变换。因此,函数 y = 1/x 关于直线 y = x 对称。
通过以上例题,可以展示函数关于点对称的概念,并在具体的函数中进行应用和判断。
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