等价的向量组秩一定相等吗

Question

如题所述

Answer 1

等价的向量组秩不一定相等。A组与B组等价的充要条件是
R(A)=R(A，B)=R(B)。
如果向量组的秩都等于整个线性空间的秩，则都组成线性空间的基，必互相等价。否则（如果秩小于整个线性空间的秩）未必成立：例如{(1，0)}和{(0，1)}都是二维欧式空间R^2中的向量组，秩都是1，但(1，0)不能写成(0，,1)的倍数，(0，1)也不能写成(1，0)的倍数，所以不一定相等。
等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。
向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。
扩展资料：
等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。
任一向量组和它的极大无关组等价。向量组的任意两个极大无关组等价。两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。
一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。
矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
参考资料来源：百度百科——等价向量组

Answer 2

等价的向量组秩一定相等。等价的向量组具有相同的秩，但是秩相同的向量组不一定等价。
设有n维向量组Ⅰ和n维向量组Ⅱ。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩。
向量组A与向量组B的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。
扩展资料：
向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。
等价向量组的性质：
1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。
2、任一向量组和它的极大无关组等价。
3、向量组的任意两个极大无关组等价。
4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。
5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。
6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。
参考资料来源：百度百科-等价向量组