多维正态分布的协方差矩阵

Question

如题所述

Answer 1

多元正态分布的定义及其密度函数推导
多元正态分布是这样定义的：
假设u1,u2,...up独立，且都服从N(0,1)分布，记U=[u1,u2,...up]'，A为p阶非奇异矩阵，X,μ为p维列向量
则X=AU+μ 所服从的分布为p维正态分布记为N(μ,AA')
由此可见，多元正态分布中的协方差矩阵的原始定义并非是一个协方差的矩阵，而是线性变换的乘积。
下面我们来推导多元正态分布的密度函数
假设p元随机向量X~N(μ,∑)，那么X的密度函数为
1
—————————————exp[(X-μ)'∑^(-1)(X-μ)]
(2*pi)^(p/2)*|∑|^(1/2)
证明：
令∑=AA'则X=AU+μ
→ U=A^(-1)(X-μ)
因为u1,u2,...up独立，且都服从N(0,1)分布，所以U的联合分布为
1
p(U)=————————exp[U'*U]
(2*pi)^(p/2)
现在将U=A^(-1)(X-μ)代入，有
1
p(X)=————————exp[(X-μ)'∑^(-1)(X-μ)]J(U→X)
(2*pi)^(p/2)
1
=—————————————exp[(X-μ)'∑^(-1)(X-μ)]
(2*pi)^(p/2)*|∑|^(1/2)
其中，J(U→X)为dU/dX的亚柯比行列式
证毕