如何取对数？

Question

如题所述

Answer 1

结论：在求解函数如 y=x^x 的导数时，正确的方法是先取对数。例如，对 y=2x 求导时，先两边取自然对数 ln(y) = ln(2x)。这是因为对数运算遵循相同的运算规则，即对数函数的导数可以通过将原函数取对数后，导数乘以对数函数的倒数再加对数函数本身的导数来求得。

更具体地说，如果原函数为 y=x^x，我们有 ln(y) = xln(x)，然后求导得到 (dy/dx) * 1/y = ln(x) + x * (1/x)。简化后得到 dy/dx = y(1+ln(x))。当把 y=2x 代入，对数部分应为 ln(2x)，而非 ln(x)。因为对数函数是对指数函数的反函数，其导数计算时要确保使用相同的底数。

进一步扩展，对数函数的一般形式为 y=logaX，其中 a>0 且 a≠1，它是指数函数 y=ax 的反函数。自变量 x 必须大于0，定义域为 (0, +∞)。理解这一点对于正确运用对数法则至关重要。