求证：双曲线上任意一点到和它在同一侧的焦点的距离小于等于c-a

Question

如题所述

Answer 1

应该是大于或等于 c-a ！！！
不妨设 P（x，y）是双曲线 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 右支上任一点，
它到焦点 F（c，0）的距离等于 d = √[(x-c)^2 + y^2]
= √[(x-c)^2 + b^2 *(x^2 / a^2 - 1)]
= √[x^2 - 2cx + c^2 + b^2*x^2 / a^2 - b^2]
= |ex-a| ，其中用到 e = c/a，a^2 + b^2 = c^2 ，
由于 x ≥a ，因此 ex - a ≥ ae - a = c - a ，
所以 d ≥ c - a ，命题得证。