离散数学---证明：所有有理数是实数,某些有理数是整数,因此某些实数是整数

Question

前提：∀x(P(x)→Q(x)),∃x(P(x)∧R(x))
结论：∃x(Q(x)∧R(x))
我想问的是 为什么 存在 括号里就是 合取 ，而不是蕴含。：∀x(P(x)→Q(x)),∃x(P(x)∧R(x)) 这两个式子 结构是一样的啊 为什么一个是蕴含 一个是合取??

Answer 1

∃x(P(x)→R(x))等价于∃x( ┐P(x)∨R(x))表述的意思是存在x,x不是有理数或者x是整数。显然扩大了原有的断言。

其实细心的你一定会发现所有的“所有xx是xx”都是∀x(→)的模式，“某些xx是xx”都是∃x(∧)的模式。

Answer 2

设：P(x)：x是有理数。Q(x)：x是实数。R(x)：x是整数，

原命题符号化为：
前提：∀x(P(x)→Q(x))，∃x(P(x)∧R(x))
结论：∃x(Q(x)∧R(x))

证明：
(1)∃x(P(x)∧R(x)) P
(2)P(a)∧R(a) ES(1)
(3)P(a) T(2)I
(4)∀x(P(x)→Q(x)) P
(5)P(a)→Q(a) US(4)
(6)Q(a) T(3)(5)I
(7)R(a) T(2)I
(8)Q(a)∧R(a) T(6)(7)I
(9)∃x(Q(x)∧R(x)) EG(8)

注意不要把条件2和结论符号化成单条件就能解出