如何证明 斜二测画法 是对的?

Question

如题所述

Answer 1

好像本来就是个直观图，这个变换只保证仿射性质不变。真正按投影计算，斜二测画法是不对的吧
注：错误在于缩放比例。立体图形的平面直观图可以看作是图形在无穷远处的某个平面的投影（即平行投影）。但是如果按照斜二测画法的角度，投影长的比例系数不是1/2而应该是1/√2（印象数字，记不准莫怪我，但肯定不是斜二测的比例）。事实上，斜二测画法主要是工程图形用的，为的是在保证有一定立体感的同时还能方便地测量，所以选择了简单的比例系数。
再补充：
简单查看了一下画法几何的书。斜二测图是轴测投影的一种，x,
y,
z各方向的变化比例叫做变形系数。我们通常用的轴间角45度、变形系数0.5的图形叫正面斜二测图，变形系数0.5，它实际是简化变形系数，并不是立体图形按比例直接投影的结果，而是出于简单和美观。较准确的值似乎是0.97:0.47:0.97。详细的内容你再查书吧。
我是学数学的，但不是学工科的，没学过工程制图，对于这种细节方面的知识还真不是特别熟，莫怪！

Answer 2

事实上，斜二测画法是三维空间到二维空间的投影，但由于圆本身是二维图形，所以这图形的变换还是二维到二维的。我们也就不必再去想相对复杂的立体问题，只把它看作是平面图形的变换。
用高等一点的语言说：因为容易看出斜二测画法保持线段长度的比例不变，从而也就保持平行关系，所以它是一个仿射变换。由于二次曲线在仿射变换下不改变类型，所以圆（可看成特殊的椭圆）仍被变成椭圆。
如果不用上面的新名词儿，用高中容易接受的方法，你可以把斜二测画法写出新、老坐标变换的公式。如一般的斜二测画法就是：
x'
=
x
+
y
/
2，y'
=
y
/
2
+
z
其中z
=
0。用变换公式代入圆的方程，就可以算出新坐标下图形的方程。（我就不算了）它仍然是一个椭圆的方程。注意，判断一个方程是否为椭圆的方程，高中没有学到（高中只知道不“偏斜”的椭圆）。如果上大学还学数学的话，应该就能学到了。