二阶常系数非齐次线性微分方程通解是对应齐次方程通解与非齐次方程本身一个特解之和,为什么?

Question

如题所述

Answer 1

首先因为有(f+g)'=f'+g'
用微分算子表示，一个非齐次线性微分方程就是 P(D)y=f(x)
那么，设y=u+v，当uv分别满足
P(D)u=0
P(D)v=f(x)
时，将uv相加，得到P(D)y=f(x)，也就是原方程的解追问

你那个仅说明这两个解都是原方程的解而已，如何确保这个解是全面的

追答

已知v是原方程的特解，那么就可得方程

P(D)(y-v)=0
设y-v=u，P(D)u=0
只要u的解是全面的，原方程的解就是全面的

追问

如何保证u是全面的，我似乎就是想问这个

追答

u是所有符合对应齐次线性微分方程的解的解集，所以是全面的
因为已知v是特解，必然有P(D)(y-v)=0，也就是y-v包含于u

追问

为什么其对应非齐次也是全面的？

追答

任意满足原方程的解y1，可得P(D)(y1-v)=0，也就是说y1-v包含在u之中
那么我通过所有u+v就得到了任意y1，也就全面

Answer 2

同济高数书上的定理写得那么清楚还到这里来问。。。。。