什么时候逆矩阵等于原矩阵

Question

如题所述

Answer 1

逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵，这一结论源自于逆矩阵的定义。设A是一个n阶矩阵，在数域上存在另一个n阶矩阵B，满足AB=BA=E，这里E为单位矩阵。这表明B是A的逆矩阵，同时A也是B的逆矩阵，因此逆矩阵的逆是原矩阵。

逆矩阵具有多种性质。首先，可逆矩阵必须是方阵。其次，一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。第三，如果矩阵A可逆，那么它的逆矩阵的逆矩阵就是A本身，即（A-1）-1=A。

进一步地，如果矩阵A可逆，其转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T，即转置的逆等于逆的转置。此外，可逆矩阵A满足消去律：若AB=O（或BA=O），则B=O；若AB=AC（或BA=CA），则B=C。

另一个重要的性质是，两个可逆矩阵的乘积依然可逆。最后，矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。这意味着可逆矩阵的逆矩阵仍然是可逆矩阵，且逆矩阵的逆矩阵就是原矩阵。

因此，逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵这一性质不仅适用于所有可逆矩阵，而且与矩阵的可逆性和性质紧密相关。这一性质在数学和工程领域中具有广泛的应用，特别是在线性代数和矩阵理论中。