证明任意多边形重心到顶点的向量和为0

Question

详细解答

Answer 1

直接用重心的定义证明好啦
Rc = ∑ mi* Ri / ∑ mi （这里Ri是向量）
对任意多边形，可以理解成各定点质量相同，
Rc = ∑ mi* Ri / ∑ mi = （∑ Ri） /n (n为多边形边数）

重心到顶点 i 的向量 = Ri - Rc
重心到顶点的向量和 = ∑ ( Ri -Rc)
= ∑ Ri - n*Rc
= 0

Answer 2

证明重心的存在性：

设顶点A=(x1,y1,z1)A2=(x2,y2,z2)....An=(xn,yn,zn) 重心 M=(x,y,z)
向量MA1+向量MA2+.....+向量MAn=(x1-x+x2-x+...+xn-x,y1-y+y2-y+...+yn-y,z1-z+z2-z+...+zn-z)=(x1+...+xn-nx,y1+...+yn-ny,z1+...+zn=nz)
由此可得：一定存在（x,y,z）使得向量MA1+向量MA2+.....+向量MAn=0本回答被提问者采纳

Answer 3

应该要用数学归纳法