向量的叉乘以反对称矩阵形式表示，揭示了其运算的数学规律。具体而言，三阶反对称矩阵展现出以下性质：
对于向量的叉乘，有以下基本性质：
1. 叉乘顺序互换，叉乘结果大小不变，方向相反。
2. 向量与自己叉乘等于零向量。
3. 向量叉乘的结果垂直于叉乘的两个向量。
这些性质通过叉乘公式得以明确体现：
[公式]
对于三维向量的叉乘，还存在混合积公式和向量三重积，表示为：
[公式]
其中，[公式] 表示标量三重积。
性质6揭示了向量三重积的矩阵形式：
[公式]
通过性质6，可以导出二次幂公式：
[公式][公式]
性质7进一步扩展到三次幂公式和特征值概念，即在性质7基础上两边左乘[公式] 可以得到零化多项式：
[公式]
由此得出[公式] 的特征值为 [公式]、[公式]，特征值0对应于一个特征向量[公式]。
当[公式] 不为零向量时，得到的性质表明存在一个一维零空间，[公式] 是其中的一个解。
旋转矩阵的伴随性质指出，若[公式] 为旋转矩阵，则有：
[公式]
三阶反对称矩阵可通过以下形式分解：
[公式]
其中，[公式] 为反对称矩阵，[公式] 为常数，[公式] 为正交矩阵，[公式]
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