试举例分析论述：矩阵A对应的齐次方程组与非齐次方程组解之间的关系并给出非齐次方程组的通解表达式

Question

如题所述

Answer 1

线性方程组分为齐次和非齐次两种形式。齐次线性方程组的形式为AX=0，其中A是系数矩阵（m×n），X是1×m列向量。非齐次线性方程组的形式为AX=B，其中B是1×m列向量。齐次方程组的解集是线性空间，至少包含零解。如果A的列向量线性无关，那么仅有零解；如果线性相关，则有无穷多个解，这些解的解空间维数为n-r，r为A的秩，基础解系是解空间的一组基。

非齐次方程组AX=B，当B不为零时，解的存在性取决于A的秩和增广矩阵的秩是否相等。如果A的列向量能表示出B，则方程组有解；若A的列向量不能表示出B，则方程组无解。有解时，解向量的秩为n-r，n为X的维数，r为A的秩。非齐次方程组的通解可以表示为非齐次方程组的一个特解X1加上齐次方程组的一个基础解系的线性组合。

齐次方程组的解与非齐次方程组的解之间存在着密切关系。非齐次方程组的任意一个解向量都可以表示为非齐次方程组的一个特解加上齐次方程组的一个基础解系的线性组合。这意味着，为了求解非齐次方程组，只需先求出齐次方程组的一个基础解系，再求出非齐次方程组的一个特解即可。

齐次方程组的解集是线性空间，因为解的线性组合仍然在解集中。而非齐次方程组的解集不是线性空间，因为两个解的线性组合通常不再是方程组的解。尽管如此，齐次方程组的解集有基础解系，而非齐次方程组的解集没有基础解系，因为非齐次方程组的解不能生成解空间，即解空间关于线性运算不封闭。