证明不等式 [(n+1)/e]^(n)<n!<e*[(n+1)/e]^(n+1)

Question

这个出现在数学分析教程中1.6自然对数的底e这一节，大概希望能用数列极限就能做出来，不过用别的方法也欢迎。谢谢。

Answer 1

由于[(n+1)/e]^n<e(n/e)^n，因为(1+1/n)^n<e（当n趋无穷大时相等），可以转而证明不等式
e*[n/e]^n<n!<e*[(n+1)/e]^(n+1)；（顺带说明一下，这个不等式源自Stirling公式的推导）
取e为底的对数ln，转化成nln(n)-n+1<ln(n!)<(n+1)ln(n+1)-(n+1)+1，下面简单证明之：
因为对数函数单调增，于是int_{n-1}^n[ln x]dx <ln n <int_{n}^{n+1}[ln x]dx，其中int_a^b是积分域为(a,b)的积分；
又因为ln(n!)=ln1+ln2+...+ln n；
于是int_1^n[ln x]dx<ln(n!)<int_1^{n+1}[ln x]dx；（注意ln1=0，我扔掉了(0,1)上的lnx积分）
根据int_1^n[ln x]dx=nln x-n+1，欲证的不等式成立。
也许你需要证明一下(1+1/n)^n<e这个常用不等式吧，因为确实常见，只提示一下，详细的就不写了：
首先证明(1+1/n)^n是随n单调增的，你可以用取对数后泰勒展开作数列比较也可以直接多项式展开比较结合归纳法；其次证明当n趋无穷大时(1+1/n)^n=e，证明则可以取对数后泰勒展开，可证nln(1+1/n)=1。方法也许有许多。追问

这是你复制来的吧，(⊙﹏⊙)我看过啦，不是我要的啊

追答

Answer 2

你看的史济怀那本书？可以用练习题第5题的结果。把5的不等式n=1到n列出来累乘起来就行了。