原函数与导函数奇偶性关系怎样证明？

Question

如题所述

Answer 1

用定义证即可：
若f(-x)=f(x)
则f'(-x)=lim_{Δx→0}(f(-x+Δx)-f(-x))/Δx
=lim_{Δx→0}(f(x-Δx)-f(x))/Δx
=lim_{Δx→0}-((f(x-Δx)-f(x))/(-Δx))
=-f'(x)

若f(-x)=-f(x)
则f'(-x)=lim_{Δx→0}(f(-x+Δx)-f(-x))/Δx
=lim_{Δx→0}(-f(x-Δx)+f(x))/Δx
=lim_{Δx→0}(f(x-Δx)-f(x))/(-Δx)
=f'(x)

所以f(x)和f'(x)的奇偶性相反