第十一届全国中学生物理竞赛预赛第一试试卷第九题求解

Question

在图所示的电路中，3个电容器C1、C2、C3的电容值均等于C，电源的电动势为E，R1、R2为电阻，S为双掷开关，开始时， 3个电容器都不带电，S先接通a再通b，再接通a，再接通b……，如此反复换向，设每次接通前都已达到静电平衡，试求： （1）当S第n次接通b并达到平衡后，每个电容器两端的电压各是多少？ （2）当反复换向的次数无限增多时，在所有电阻上消耗的总电能是多少？
网上给的解析是：为了求每个电容器两端的电压，我们先来求每个电容器上的电压，原来3个电容器都不带电，所以当第1次接通a后，电路为C1和C2串联，两者的电容又相等，所以等效电容应为C/2，由此可知，C1带的电量应为Q1=1/2CE 下面来求第n次接通a后1C上的电量。 我们用Q1、Q2……依次表示每次接通a时，电池在该次中对C1充电（增加）的电量，因充电时C2和C2串联，根据电荷守恒，每次充电时给C2增加的电量应是Q1、Q2……a接通n次后，C1上的电量应为Q=Q1、Q2……Qn请问电容器C1上的电荷量为什么不是保持Q1=CE/2不变呢 电容器c1c2相同 分压和电荷量应该是一样的 请问我的理解哪里出错了

Answer 1

c1c2相同，电荷量确实一样，但是由于c2和c3之间曾经有充放电，故而c1和c2之间的电荷总量不再是零。
你给的网上解析未免太过简略了，我这里再解析一次吧。
首先根据电荷守恒，我们知道，c1c2的上极板在稳定后电势相等，且两者相等，故而有E-Uc1=Uc2-0，Uc1=Uc2。可以得到，Uc1=Uc2=E/2。则两个电容的电量都是Q=1/2CE。刚开始，c1c2之间的电荷总量为零，故而，之后c1上极板电量为Q11=-1/2CE，c2上极板电量Q21=+1/2CE。Q1=1/2CE，
现在将开关拨至b，c2和c3之间存在电压差，同时，c2上极板和c3上极板之间电荷中来那个为+1/2CE。故而c2向c3充电，平衡后，Q21=Q31=+1/4CE。
再将开关拨至a，此时c2两端电压为Uc2=E/4。与c1不等，电源为c1c2充电，此时c1c2上极板总电量为Q11+Q21=-1/4CE。平衡后，有公式E1+E2=E，-CE1+CE2=-1/4CE，得出，c1c2两端分压将不再相等，其中，Q11=-5/8CE，Q21=+3/8CE。即c1带电量Q1=1/2CE+1/8CE，
继续拨动开关，得到Q21=Q31=(+3/8CE+1/4CE)/2=+5/16CE，
开关到a，Q11+Q21=-5/16CE，利用公式可以得到，Q1=+21/32CE=+1/2CE+1/8CE+1/32CE，
可以看出，Q1n=1/2CEΣ(1/4)^i（i=0,1,2……n）
之后的就很容易推出来了，这里就不多说了。
可能有所疏漏，欢迎讨论