如何证明通经是双曲线所有焦点弦中最短的

Question

如题所述

Answer 1

显然是错的，详情如图所示

Answer 2

如何证明通经是双曲线所有焦点弦中最短的？利用双曲线的第二定义，即统一定义来做。由焦点弦的端点向对应准线作垂线，可以构成一个直角梯形，其上下底线段之和等于梯形的中位线的2倍，而上下底线段之和等于焦点弦除以离心率e，由于离心率的值固定，故当中位线最小时，焦点弦也最小，而中位线最短的位置，其实就是一腰的中点恰为焦点时。因为其他位置时的中点忽上忽下的，中位线都比垂直时的长。所以通径的最短的焦点弦。

Answer 3

设焦点为F, 焦点弦为AB, F在线段AB上.
可以证明1/|FA|+1/|FB|为定值(记为常数C)(用极坐标易证).
故此由均值不等式有
|AB|=|FA|+|FB|=4/(1/|FA|+1/|FB|)=4/C
等号成立当且仅当|FA|=|FB|, 即为通径.
也可以用第二定义来证明本回答被提问者采纳

Answer 4

利用双曲线的第二定义，即统一定义来做。由焦点弦的端点向对应准线作垂线，可以构成一个直角梯形，其上下底线段之和等于梯形的中位线的2倍，而上下底线段之和等于焦点弦除以离心率e，由于离心率的值固定，故当中位线最小时，焦点弦也最小，而中位线最短的位置，其实就是一腰的中点恰为焦点时。因为其他位置时的中点忽上忽下的，中位线都比垂直时的长。所以通径的最短的焦点弦。
2010-11-25
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其他回答 1条回答
我会发光
设焦点为f, 焦点弦为ab, f在线段ab上.
可以证明1/|fa|+1/|fb|为定值(记为常数c)(用极坐标易证).
故此由均值不等式有
|ab|=|fa|+|fb|=4/(1/|fa|+1/|fb|)=4/c
等号成立当且仅当|fa|=|fb|, 即为通径.
也可以用第二定义来证明
2010-11-25