一）函数的概念：
定义域：自变量的取值的集合叫做函数的定义域。
函数值：和自变量的值对应的的值叫做函数值。
值域：函数值的集合叫做值域。
从映射的概念可知，函数实际上就是函数集合A到集合B的一个映射，其中A、B都是非空数集，对于自变量在定义域A内的任何一个值，在集合B中都有唯一的函数值和它对应；自变量的值是原象，和它对应的函数值是象；原象的集合A就是定义域，象的集合C就是函数的值域。显然，
函数：如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作：。
注意：
1°函数的三要素，即定义域、值域和对应法则。
2°定义域A=原象集合，值域C等于象集合，。
3°C中的元素都有原象，但未必唯一，注意与一一映射的区别。
4°A、B是两个非空数集，注意与映射定义中的A、B的区别。
5°函数一定是映射，映射不一定是函数。只要A、B是非空数集，映射就是函数。
6°自变量在A中任取一个值，对应的函数值为。
7°同时研究多个函数时，函数符号还可用……表示。
例：（1）一次函数是集合A（A=R）到集合B（B=R）的映射，使得集合B中元素与集合A中的元素对应，记作：，A=定义域，值域C=B。
（2）反比例函数是集合到集合B（B=R）的映射，使得集合B中元素与集合A中的元素对应，记作：，A=定义域，值域C是B的真子集。
（3）二次函数是集合A（A=R）到集合B（B=R）的映射，使得集合B中元素与集合A中的元素对应，记作：，A=定义域，当时，值域；当时，值域（C是B的真子集）。
（二）函数的表示方法：
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种。
（1）解析法：就是把两个变量函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。如：
优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。
（2）列表法：用列出表格来表示两个变量的函数关系。如：平方表、平方根表、三角函数表、利息表等。
优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。
（3）图象法：利用函数的图象表示两个变量的函数关系。如：股票图示、气象台应用的自动记录器等。
优点：直观形象地表示出函数的变化情况。
（三）区间：
闭区间：满足的实数的集合叫做闭区间。[]
开区间：满足的实数的集合叫做闭区间。（）
半开半闭区间：满足或的实数的集合叫做半开半闭区间。或
实数集R：
注意区间中有的表示方法，如等。
（四）函数的定义域：
定义域：使函数表达式有意义的自变量取值的集合。
注意：定义域必须用集合表示。
例：求下列函数的定义域：
①；②；③。
总结：
①如果是整式，那么函数的定义域是实数集R；
②如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合；
③如果是偶次根式，那么函数的定义域是使被开方式大于等于0的实数的集合；
④如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是及由各个部分的数学式子都有意义的实数集合。
（五）判断两个函数是否是同一函数的方法：
例：下列函数中哪个与函数是同一函数？
①； ②； ③； ④。
总结：只需看定义域和对应法则是否相同即可。
（六）函数的图象：
例1、某种茶杯每个5元，买个茶杯的钱数（元）：，，画出这个函数的图象。
例2、国内投寄信函，假设每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依此类推，每封的信函应付邮资为（单位：分）：
，画出这个函数的图象
（例2图） （例3图）
注：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立的点或几段线段组成。
例3、画出函数的图象
注：函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数。注意分段函数是一个函数，而不是几个函数。
参考资料：http://www.ja.edu.sh.cn/CenterWeb/mathematics/math/g1sx/J3374.htm