证明增减函数

Question

已知函数y=f(x)是奇函数，在(0,+∞)内是减函数，且f(x)<0,试问F（x）=1/f(x)在（-∞，0）内是增函数还是减函数？并证明

Answer 1

任取实数x1,x2，且x1<x2<0，
F（x1）-F(x2)= 1/f(x1)- 1/f(x2)=[ f(x2)- f(x1)]/[ f(x1) f(x2)].
x1<x2<0,则-x1>-x2>0,
y=f(x)在(0,+∞)内是减函数，所以f(-x1) <f(-x2)
又y=f(x)是奇函数，上式即为-f(x1) <-f(x2)，f(x2)- f(x1)<0.
又因f(x1)<0, f(x2)<0.所以[ f(x2)- f(x1)]/[ f(x1) f(x2)]<0.
即F（x1）-F(x2) <0.
∴F（x）=1/f(x)在（-∞，0）内是增函数。