五只猴子分桃

Question

五猴分桃：有五只猴子分一堆桃，平均分配以后多出一只。最后他们各自回家睡觉决定第二天再分。晚上一只猴子偷偷过来，先吃掉一只桃，再平均分成五份，拿走了他自己的一份。第二只猴子也过来这样做了。直到第五只猴也这样做了。问：最初，这堆桃子最少有几只？要求不能出现分数。

Answer 1

分析与解： 设开始有x个桃子，我们把x写成(x+4)－4． 第一个猴子来了，吃掉1个，还有桃子 (x+4)－4－1=(x+4)－5， 这时恰好可分成5份，每份的桃子数为 [(x+4）-5]/5=(x+4)/5－1 (x+4)/5必须为整数，所以（x+4）是5的倍数， 第一个猴子藏掉一份后，剩下的桃子为： （4/5)×[(x+4)-5]＝(4/5)×(x+4)－4 同样，第二个猴子来了，一吃一藏之后，剩下的桃子数为 (4/5)×[(4/5)×(x+4)－5] 由于(4/5)×(4/5)×(x+4)是整数，故（x+4）应是5×5＝25的倍数， 如此一来五个猴子一吃一藏，恰好剩下 (4/5)×(4/5)× (4/5)×(4/5) ×(4/5) ×(x+4)-5个桃子， 故(x+4)必须是5×5×5×5×5的倍数， 即x+4=5^5 所以： x=3125-4=3121 即开始最少有3121个桃子．

Answer 2

设桃子总数为peach,第一只猴子分得桃子为x1多1个，第二只猴子为x2多一个……第五只猴子为x5多一个
peach= 5 * x1 +1;
4 * x1 = 5 * x2 +1;
……
4 * x4 = 5 * x5+ 1;
变形得
4(x1 +1) = 5(x2 + 1), 4(x2 + 1) = 5(x3 +1)..., 4(x4 +1) = 5(x5 +1)
所以有：(x1 +1) = (5/4)^4 * (x5 +1)
推出 --> (x5 +1) = (4/5)^4 * (x1+1)
(x5 + 1) =(x1+1)*256/625，由于整数，令 x1 +1=625,则x1=624;
那么x5 +1=256，x5=255;
x2=499;
x3=399;
x4=319;
peach= 5 * x1 +1=3121

Answer 3

开始最少有3121个桃子．

Answer 4

设有1000x＋100y＋10z＋m个桃，桃子总数的个位为1或6，则m=1或6（分类讨论），总数减1除以5，再乘以4后个位为6（1不可能），所以乘以4之前个位数为4或9，以此确定z，分不同情况，依次计算y，x，就能得出11组不同的xyzm值，即11个桃子总数，代入检验，最后得到3121 ，6246，9371四个数。（不是太麻烦，用上计算器，很快的，如果要得更大的数，设xyzmn五个数。）