如图，已知点A（0，4），B（2，0）． （1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与

Question

如图，已知点A（0，4），B（2，0）． （1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m） 2 +n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．

Answer 1

解：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b， ∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（2，0）， ∴ ，解得： 。 ∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+4。 （2）①∵以M为顶点的抛物线为y=（x﹣m） 2 +n， ∴抛物线顶点M的坐标为（m，n）。 ∵点M在线段AB上，∴n=﹣2m+4。 ∴y=（x﹣m） 2 ﹣2m+4。 把x=0代入y=（x﹣m） 2 ﹣2m+4，得y=m 2 ﹣2m+4， ∴C点坐标为（0，m 2 ﹣2m+4）。 ∴AC=OA﹣OC=4﹣（m 2 ﹣2m+4）=﹣m 2 +2m。 ②存在某一时刻，能够使得△ACM与△AMO相似。理由如下： 过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，﹣2m+4）， ∴AD=OA﹣OD=4﹣（﹣2m+4）=2m。 ∵M不与点A、B重合，∴0＜m＜2。 又∵MD=m，∴ 。 ∵在△ACM与△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM， ∴当△ACM与△AMO相似时，假设△ACM∽△AMO。 ∴ ，即 。 整理，得 9m 2 ﹣8m=0，解得m= 或m=0（舍去）， ∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似，此时m=

试题分析：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式。 （2）①先由抛物线的顶点式为y=（x﹣m） 2 +n得出顶点M的坐标为（m，n），由点M是线段AB上一动点，得出n=﹣2m+4，则y=（x﹣m） 2 ﹣2m+4，再求出抛物线y=（x﹣m） 2 +n与y轴交点C的坐标，然后根据AC=OA﹣OC即可求解。 ②过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，﹣2m+4），AD=OA﹣OD=2m，由勾股定理求出AM= m．在△ACM与△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以当△ACM与△AMO相似时，只能是△ACM∽△AMO，根据相似三角形对应边成比例得出 ，即 ，解方程求出m的值即可。