如图,已知点A(0,4),B(2,0). (1)求直线AB的函数解析式;(2)已知点M是线段AB上一动点(不与点A、B重合),以M为顶点的抛物线y=(x﹣m) 2 +n与线段OA交于点C.①求线段AC的长;(用含m的式子表示)②是否存在某一时刻,使得△ACM与△AMO相似?若存在,求出此时m的值.
解:(1)设直线AB的函数解析式为:y=kx+b, ∵点A坐标为(0,4),点B坐标为(2,0), ∴ ∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+4。 (2)①∵以M为顶点的抛物线为y=(x﹣m) 2 +n, ∴抛物线顶点M的坐标为(m,n)。 ∵点M在线段AB上,∴n=﹣2m+4。 ∴y=(x﹣m) 2 ﹣2m+4。 把x=0代入y=(x﹣m) 2 ﹣2m+4,得y=m 2 ﹣2m+4, ∴C点坐标为(0,m 2 ﹣2m+4)。 ∴AC=OA﹣OC=4﹣(m 2 ﹣2m+4)=﹣m 2 +2m。 ②存在某一时刻,能够使得△ACM与△AMO相似。理由如下: 过点M作MD⊥y轴于点D,则D点坐标为(0,﹣2m+4), ∴AD=OA﹣OD=4﹣(﹣2m+4)=2m。 ∵M不与点A、B重合,∴0<m<2。 又∵MD=m,∴ ∵在△ACM与△AMO中,∠CAM=∠MAO,∠MCA>∠AOM, ∴当△ACM与△AMO相似时,假设△ACM∽△AMO。 ∴ 整理,得 9m 2 ﹣8m=0,解得m= ∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似,此时m= |
试题分析:(1)设直线AB的函数解析式为:y=kx+b,将A、B两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式。 (2)①先由抛物线的顶点式为y=(x﹣m) 2 +n得出顶点M的坐标为(m,n),由点M是线段AB上一动点,得出n=﹣2m+4,则y=(x﹣m) 2 ﹣2m+4,再求出抛物线y=(x﹣m) 2 +n与y轴交点C的坐标,然后根据AC=OA﹣OC即可求解。 ②过点M作MD⊥y轴于点D,则D点坐标为(0,﹣2m+4),AD=OA﹣OD=2m,由勾股定理求出AM= |