向量的运算公式主要包括以下几种：
一、向量加法与减法公式：
向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。公式表示为：向量a + 向量b = 结果向量c。向量减法时，向量的尾部相连，按照平行四边形的对角线法则得到结果向量。公式表示为：向量a - 向量b = 结果向量d。
二、向量数乘公式：
数乘是对向量的一个缩放操作，一个数乘以向量。当乘以正数时，方向不变，大小改变；当乘以负数时，方向相反。公式表示为：k * 向量a = 结果向量ka。此操作可以理解为向量的缩放或增长程度。另外需注意数乘满足结合律和分配律。
三、向量点乘公式：
点乘结果是一个标量，其值等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。公式表示为：向量a · 向量b = |a|*|b|*cosθ。点乘满足交换律和对数乘的分配律。若两向量的点乘结果为0，说明两向量垂直。并且基于这一性质可实现投影计算以及力的分解与合成等实际应用。另外值得注意的是向量内积定义了一个半双线性映射或二元形式。内积的几何意义表现在与欧几里得范数密切相关的勾股定理中。对于二维空间中的向量，其点乘等于行列式。因此勾股定理中关于两直角边的长度的平方和等于斜边的平方的情况也可以通过点乘来验证。当两向量垂直时，它们的点乘结果为0，这也体现了点乘在几何中的应用价值。
四、向量叉乘公式：
叉乘结果是一个向量，其方向遵循右手螺旋法则。在物理学中，叉乘可以用来表示力的方向和扭矩的方向等。在解析几何中，叉乘的几何意义表现在它可得到两个向量构成的平行四边形的面积大小和方向。同时叉乘满足分配律和其他重要性质。但在平面坐标系中很少用到叉乘，我们通常在空间坐标系中使用它来表示法向量和物体的旋转方向等概念。叉乘的应用广泛于物理学的多个领域如电磁学和力学等。