二重积分为什么要考虑二重积分的对称性？

Question

如题所述

Answer 1

在二重积分的对称性中，如果图像既关于x轴对称又关于y轴对称，可以利用对称性简化积分的计算。
对于例3中的情况，如果图像关于x轴和y轴对称，可以将积分区域D1转化到第一象限。然后，通过展开(x-y)²，可以得到x²+y²-2xy。在这个表达式中，2xy中的x是奇函数，y也是奇函数，因此可以根据对称性得出这部分结果为0。
对于2x²y这个例子，图像仍然关于x轴和y轴对称。x²是偶函数，y是奇函数，根据对称性，可以得出这部分结果为0。
对于x²+y²，x²是偶函数，y²也是偶函数，整体x²+y²仍为偶函数。在这种情况下，需要将x²和y²两部分加在一起，并判断整体的奇偶性。如果整体是偶函数，则可以根据对称性得出这部分结果为0。
你的理解是正确的。根据对称性，可以简化二重积分的计算。如果函数是奇函数，则在对称区域上的积分结果为0；如果函数是偶函数，则在对称区域上的积分结果可以通过倍数关系得到。希望这个解释对你有帮助！