平稳随机过程学习一

Question

如题所述

Answer 1

平稳随机过程是统计学中的一个重要概念，它描述了一个随机过程在任何时间点的统计性质都不随时间的推移而改变的过程。在平稳随机过程下，随机变量的数学期望与时间无关，自相关函数则与观察起始时刻无关，只与观察的两个随机变量的时间差有关。

严格平稳随机过程的定义强调了过程的所有统计特征，包括均值、方差以及更高阶的矩，都是不随时间变化的。具体而言，对于任何时间点和任意时间移动，随机变量的联合分布与另一个时间点的联合分布相同。这意味着随机变量的期望是一个常数，随机变量的概率密度函数也是固定的。

在严格平稳随机过程中，自相关函数用于描述随机过程在不同时间点的随机变量之间的线性依赖关系。自相关函数定义为随机变量在时间差下的期望乘积。即使在不同时间点随机变量具有相同的分布，它们之间的相互关系（即在给定时间差下它们是如何关联的）可以随着时间差的变化而变化。

为了帮助理解随机变量的统计特性相同但并不相同，我们可以考虑两个例子。在第一个例子中，假设你的职业意愿不随年龄增长而变化，但在不同的平行宇宙中，你的身份在特定时间点上是不同的。在第二个例子中，你在一个特定时间点上可能处于不同的宇宙状态，但通过遍历你的完整人生，你实际上在一条时间线上经历了所有状态。

平稳随机过程的数字特征与时间无关，这意味着在一维概率密度中，数字特征不随时间变化。对于二维概率密度及其数字特征，它们与时间间隔有关。如果概率密度知道，所有矩的特性也都会与时间差有关。

宽平稳随机过程满足三点条件，因此被称为广义平稳过程。当时间平均等于统计平均时，随机过程具备了遍历性。在宽遍历过程中，均值和自相关函数的遍历性对于计算信号的直流分量、平均功率以及交流平均功率至关重要。

平稳随机过程的实际应用广泛，例如在计算信号的直流分量、平均功率以及有效值的平方（即交流平均功率）。这些应用在信号处理、通信系统和控制系统中尤为重要。