三角形的性质及判定如下：
三角形是由三条边和三个顶点组成的图形。以下是一些常见的三角形性质及判定方法：
1、边长关系：等边三角形：三条边长度相等。等腰三角形：两条边长度相等。不等边三角形：三条边长度均不相等。
2、角度关系：直角三角形：一个角度为直角（90度）。钝角三角形：一个角度大于90度。锐角三角形：三个角度均小于90度。
3、角边关系：角平分线定理：三角形内部的角平分线把对应的边分成相等的部分。
定理：两条边相等的两个角度也相等。
4、三角不等式：
三角不等式定理：对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
5、相似三角形：
AAA相似定理：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们相似。
SAS相似定理：如果两个三角形的两边比例相等，并且夹角相等，则它们相似。
6、定理：
正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)，其中c为三角形的第三边，a、b为其他两边，C为夹角。
三角形常见的应用
1、建筑与工程：三角形是建筑和工程设计中的基本要素。在建筑结构和桥梁设计中，三角形的稳定性和强度使其成为优选形状，例如使用三角形构建支撑结构、框架和悬索桥等。
2、地理测量与导航：三角形法则是地理测量的基础之一。通过测量三角形的边长和角度，可以计算地球上任意两点之间的距离和方位。在导航系统和地图制作中，三角形的原理被用于确定位置、绘制路线和进行定位。
3、三角函数：三角函数（如正弦、余弦和正切）是数学中重要的概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学、计算机图形学等领域。它们描述了三角形内角和边的关系，用于解决各种数学和物理问题。
4、光学与光学器件：三角形的几何性质在光学中起着重要作用。例如，棱镜和光学透镜的设计和功能基于三角形的反射和折射原理。光学器件的形状和角度需要精确控制，以实现特定的光学效果。
5、艺术与设计：三角形是艺术和设计中常见的形状。它在图形设计、绘画、雕塑等方面被广泛运用。三角形的对称、比例和稳定性常常被用来创造美感和艺术效果。
6、几何推理与证明：三角形是几何学研究中经常使用的对象。通过研究和分析三角形的性质，可以进行几何证明和推理，建立数学定理和公式。