对于2阶方阵A，可以直接计算得出A**=A。对于大于2阶的n阶方阵A，由于|A|=0时，r(A*)≤1，则A*的所有n-1阶子式全为0，所以A**=O。
AA* = |A|E
|A*| = |A|^(n-1)
当 r(A) = n 时, r(A*) = n
当 r(A) = n-1 时, r(A*) = 1
当 r(A) < n-1 时, r(A*) = 0
所以有
A*(A*)* = |A*|E
AA*(A*)* = |A*|A
|A| (A*)* = |A|^(n-1) A
所以, 当A可逆时, (A*)* = |A|^(n-2) A
当A不可逆时, |A|=0
r(A) <= n-1
r(A*)<= 1
r((A*)*) = 0
定理
（1）逆矩阵的唯一性。
若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1。
（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。
对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。
（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。
推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。