因为S²=1/(n-1)∑(Xi-X拔)²,而且(n-1)S²/σ²~χ²(n-1),又因为σ=1,∑(Xi-X拔)²~χ²(n-1),根据卡方分布的定义可知:∑(Xi-μ)2/σ2服从正态分布 N(μ,σ2/n),则 (X*-μ)/ (σ/n1/2) 服从正态分布 N(0,1) ∑(Xi-μ)2/σ2 。
若n个相互独立的随机变量ξ₁,ξ₂,...,ξn ,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布。
卡方分布性质:
1、分布在第一象限内,卡方值都是正值,呈正偏态(右偏态),随着参数的增大,分布趋近于正态分布;卡方分布密度曲线下的面积都是1.
2、分布的均值与方差可以看出,随着自由度的增大,χ2分布向正无穷方向延伸(因为均值越来越大),分布曲线也越来越低阔(因为方差越来越大)。
3、不同的自由度决定不同的卡方分布,自由度越小,分布越偏斜。
参考资料:百度百科—卡方分布