如图所示，光滑的平行金属导轨 CD 与 EF 间距为 L= 1m，与水平面夹角为 θ ＝30 °，导轨上端用导线 CE

Question

如图所示，光滑的平行金属导轨 CD 与 EF 间距为 L= 1m，与水平面夹角为 θ ＝30 °，导轨上端用导线 CE 连接(导轨和连接线电阻不计)，导轨处在磁感应强度为 B ＝0.1T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，一根电阻为 R ＝1Ω的金属棒 MN 两端有导电小轮搁在两导轨上，棒上有吸水装置 P ，取沿导轨向下为 x 轴正方向。坐标原点 O 在 CE 中点，开始时棒处在 x ＝0位置(即与 CE 重合)，棒的起始质量不计。当棒自静止开始下滑时，便开始吸水，质量逐渐增大，设 棒质量的增加量与位移 x 的平方根成正比，即 m ＝ k ， k 为一常数， k ＝0.1 kg·m 。(1)猜测金属棒下滑过程中做的是什么性质的运动，并加以证明。(2)求金属棒下滑2m位移时速度为多大？

Answer 1

解：(1)由于棒从静止开始运动，因此首先可以确定棒开始阶段做加速运动，如图所示 棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力 mg sin θ 和向上的安培力 F 。由于 m 随位移 x 增大而增大，所以 mg sin θ 是一个变力；而安培力与速度有关，也随位移增大而增大。如果两个力的差值恒定，即合外力是恒力的话，棒做匀加速运动。不妨假设棒做的是匀加速运动，且下滑位移 x 时的加速度为 a 安培力 F ＝ BIL ， I ＝ ，所以 F ＝ 根据牛顿第二定律，有 mg sin θ － F ＝ ma 有 mg sinθ－ ＝ ma 棒做匀加速运动，则瞬时速度 v ＝ 由于 m ＝ k ，代入后得到 kg sin θ － ＝ k · a 消去 后得到 kg sin θ － － ka ＝0① 从上述方程可以看出 a 的解是一个定值，与位移 x 无关，这表明前面的假设成立，棒的运动确实是匀加速运动 (2)将题目给出的数据代入①式得 0．1×10×0.5－ －0.1 a ＝0 化简得10 a ＋ · －50＝0 令 y ＝ ，则上式可写作10 y 2 ＋ y －50＝0 解得 y ＝2.17，即 a ＝ y 2 ＝4.71m/s 2 根据匀变速运动规律 v x ＝ ＝ m/s＝4.34m/s