线性回归中的方差齐性探察

Question

如题所述

Answer 1

方差齐性，或等方差性、同方差性，意味着在统计学上，两组或多组的方差相等。在方差分析或t检验中，当自变量水平相同，且有足够多的因变量数据时，可以对方差进行分析。然而，在线性回归中，每个自变量“水平”的取值往往有限，甚至只有一个。这意味着每个“水平”的方差可能无法计算，方差齐性也就难以验证。尽管样本量足够大时，自变量的每个“水平”可能有多次取值，但自变量存在众多“水平”，这使得方差齐性检验变得困难。线性回归中的等方差指的是因变量残差不随所有自变量取值的变化而变化。通过检验因变量残差，可以判断方差是否齐性。在散点图中，如果标准化残差随机、均匀地分布在0横线上下两侧，表示方差基本相等；反之，如果标准残差随着自变量或预测值的增大而扩散或收敛，则方差可能不齐。

为了验证方差齐性，可以采用图形法和统计检验法。图形法涉及观察标准化预测值与标准化残差、自变量与残差的散点图。在SPSS操作中，可以通过线性回归直接生成这些图形，而在STATA中，通过线性回归命令生成模型后，可以在回归诊断中选择残差对预测值的图形。

统计检验法则是利用软件中提供的方差齐性检验。在STATA中，可以执行方差齐性检验，选择不同类型的检验方法，如Breusch-Pagan检验、Cook-Weisberg检验等。如果检验结果的P值大于0.05，意味着方差相等的假设不能被拒绝，即方差齐性。

R软件提供了多种线性回归的方差齐性检验方法，如lmtest包的bptest函数、car包的ncvTest函数和spreadLevelPlot函数、gvlma包的gvlma函数等。通过这些函数，可以进行方差齐性检验，并观察结果。例如，使用bptest函数执行Breusch-Pagan检验，如果P值大于0.05，则方差齐性。

在模型建模时，若发现残差不齐，可以通过对因变量进行变换、采用加权最小二乘法回归或考虑非参数回归等方法来解决。同时，重要的是确保模型的其他假设（如线性性、独立性、正态性）也得到满足，以确保模型的有效性和可靠性。