AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，连结AC，过C作直线CD垂直于AB，垂足为D（AD小于DB）

Question

AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，连结AC，过C作直线CD垂直于AB，垂足为D（AD小于DB），点E是线段DB上任意一点，直线CE交圆O于点F，连结AF，与直线CD交于点G。求证：AC平方=AG*AF;若点E是线段AD上的任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立给予证明，不成立说明理由。

Answer 1

证明：

如图1，连接BC、BF

因为AB是直径

所以∠ACB＝∠AFB＝90°

因为CD⊥AB

所以∠ADC＝∠ADG＝90°

所以∠ACB＝∠ADC，∠AFB＝∠ADG

又因为∠CAD＝∠BAC，∠DAG＝∠FBA

所以△ACD∽△ABC，△ADG∽△AFB

所以AC/AB＝AD/AC，AD/AF＝AG/AB

所以AC^2＝AD*AB，AD*AB＝AG*AF

所以AC^2＝AG*AF

若点E是线段AD上的任意一点，上述结论仍然成立

证明（与上面过程一样）：

如图2，连接BC、BF

因为AB是直径

所以∠ACB＝∠AFB＝90°

因为CD⊥AB

所以∠ADC＝∠ADG＝90°

所以∠ACB＝∠ADC，∠AFB＝∠ADG

又因为∠CAD＝∠BAC，∠DAG＝∠FBA

所以△ACD∽△ABC，△ADG∽△AFB

所以AC/AB＝AD/AC，AD/AF＝AG/AB

所以AC^2＝AD*AB，AD*AB＝AG*AF

所以AC^2＝AG*AF

供参考！JSWYC

参考资料：http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/d649b2839b1719b16c811992.html

Answer 2

证明：
如图1，连接BC、BF
因为AB是直径
所以∠ACB＝∠AFB＝90°
因为CD⊥AB
所以∠ADC＝∠ADG＝90°
所以∠ACB＝∠ADC，∠AFB＝∠ADG
又因为∠CAD＝∠BAC，∠DAG＝∠FBA
所以△ACD∽△ABC，△ADG∽△AFB
所以AC/AB＝AD/AC，AD/AF＝AG/AB
所以AC^2＝AD*AB，AD*AB＝AG*AF
所以AC^2＝AG*AF
若点E是线段AD上的任意一点，上述结论仍然成立
证明（与上面过程一样）：
如图2，连接BC、BF
因为AB是直径
所以∠ACB＝∠AFB＝90°
因为CD⊥AB
所以∠ADC＝∠ADG＝90°
所以∠ACB＝∠ADC，∠AFB＝∠ADG
又因为∠CAD＝∠BAC，∠DAG＝∠FBA
所以△ACD∽△ABC，△ADG∽△AFB
所以AC/AB＝AD/AC，AD/AF＝AG/AB
所以AC^2＝AD*AB，AD*AB＝AG*AF
所以AC^2＝AG*AF