如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F。 （1）求证：CF=BF；

Question

如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F。 （1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长。

Answer 1

解：（1）连结AC，如图 ∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC 又∠BDC=∠BAC 在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB ∴∠BCE=∠BAC ∠BCE=∠DBC ∴ CF=BF。 （2）作CG⊥AD于点G ∵C是弧BD的中点 ∴ ∠CAG=∠BAC ，即AC是∠BAD的角平分线 ∴CE=CG，AE=AG 在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD ∴Rt△BCE≌Rt△DCG ∴BE=DG ∴AE=AB-BE=AG=AD+DG 即6-BE=2+DG ∴2BE=4，即BE=2 又△BCE∽△BAC ∴ （舍去负值） ∴ 。