sinx的四次方的不定积分是什么？

Question

如题所述

Answer 1

∫(sinx)^4dx的不定积分为3/8*x-1/4cosx*(sinx)^3+3/8*sinx*cosx+C。

解：∫(sinx)^4dx

=∫(sinx)^3*sinxdx

=-∫(sinx)^3*dcosx

=-cosx*(sinx)^3+∫cosxd(sinx)^3

=-cosx*(sinx)^3+3∫cosx*cosx*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(cosx)^2*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(1-(sinx)^2)*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx-3∫(sinx)^4dx

则，4∫(sinx)^4dx=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2∫(1-cos2x)dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/2∫cos2xdx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/4*sin2x+C

=3/2*x-cosx*(sinx)^3+3/2*sinx*cosx+C

不定积分的公式：

1、∫adx=ax+C，a和C都是常数

2、∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-1

3、∫1/xdx=ln|x|+C

4、∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1

5、∫e^xdx=e^x+C

6、∫cosxdx=sinx+C

7、∫sinxdx=-cosx+C

8、∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C