设随机变量X和CY相互独立且都满足标准正态分布，Z=X^2+Y ^2,求Z的概率密度函数，想知道我的做法为什么错

Question

因为X,Y相互独立，联合密度函数F(x,y）=1/2π *e^(- (X^2+Y^2)/2)，则f（Z）=∫负∞到正∞f(X,√Z-X^2)dx=1/2π ∫负∞到正∞ e^(-Z^2/2)dx=1/2π e ^(-Z^2/2) 这个答案是错的，正确答案是Z^2/2 * e^(-Z^2/2) 有没有大神告诉我哪里错了，跪谢
补充;正确答案是1/2 e^(-Z/2)

Answer 1

可能你想写：求 z=(x^2＋y^2)^0.5的密度函数.
F(z)=P(Z<=z)=P{(X^2+Y^2)^0.5<=z}
当z<0时，F(z)=0
当z>=0时，F(z)=P{X^2+Y^2<=z^2}
F(z)=P{X^2+Y^2<=z^2}=(2πσ^2)^(-1)∫∫e^[-(x^2+y^2)/(2σ^2)]dxdy,
积分区域是X^2+Y^2<=z^2
积分得概率分布：F(z)=1-e^[-z^2/(2σ^2)]，z>0
求导得概率密度：f(z)=(z/σ^2)*e^[-z^2/(2σ^2)],z>=0,f(z)=0,z<0