正四面体内切球半径为_______。

Question

如题所述

Answer 1

正四面体内切球半径是 √2a/4。

因为正四面体共有六个面，且每个面都是一个正方形，所以，这个正四面体中的内切球和这个正四面体共有六个切点，而且每个切点都在组成这个正四面体的正方形对角线的交点上，由此不难看出，这个内切球的直径就等于这个正四面体的棱长，所以，内切球的半径就等于正四面体棱长的一半。

推导过程

设正四面体的棱长为1，则它的高为√6/3，而棱切球的球心必在正四面体的高上。

设球心到顶点的距离为x，到底面的距离为y，则有x+y=√6/3，球心到棱的距离为半径R（且切点必在棱的中点上），在顶点和侧棱的中点、球心之间构成一个直角三角形，则有R^2+1/4=x^2。

在底面中心、球心和底面棱的中点之间也构成一个直角三角形，则有R^2=y^2+(√3/6)^2，有上述三个方程可解得：R=√2/4。