几道高中数学题

Question

①若曲线发f（x）=ax^5+㏑x存在垂直于y轴的切线，则a的范围﹎﹎﹎
②设函数f（x）=cos（√3x+α）（0＜α＜π）若f（x）+fˋ（x）是奇函数则α=﹎﹍﹍﹍
③已知锐角△ABC的面积为3√3，BC=4，CA=3，则角C的大小为
A75° B60° C45° D30°
④已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边为a、b、c，若△ABC的面积为S=a²-(b-c)²，则等于tanA/2等于（ ）
A1/2 B1/3 C√2/2 D1/4
请写出详细答案，谢谢

Answer 1

①f（x）=ax^5+㏑x存在垂直于y轴的切线，则其导函数f'(x)在x>0内有零解(或理解为f(x)在x>0内有切线斜率为0的点)：
f'(x)=5ax^4+1/x=0,x>0
得a<0
② 上面一位解答正确！
③ 涉及到计算△ABC的面积的常用公式：
△ABC的面积S=(1/2)*BC*CA*sinC=3√3
得sinC=(1/2)√3,又C为锐角，得C=60°，选B

④ 由余弦定理：2bc*cosA=b^2+c^2-a^2
又△ABC的面积S=(1/2)*bc*sinA
=a²-(b-c)²
=a²-b²-c²+2bc
=-2bc*cosA+2bc
得 sinA=4(1-cosA)
另由半角公式得：
tanA/2=sin(A/2)/cos(A/2)
=（sin(A/2)cos(A/2)）/cos²(A/2)
=sinA/(1+cosA)
=sinA(1-cosA) / (1-cos²A)
=sinA(1-cosA) / sin²A
=(1-cosA) / sinA
=1/4
选 D

Answer 2

②已知f（x）=cos（√3x+α）（0＜α＜π），
f（x）+fˋ（x）=cos（√3x+α）-√3*sin（√3x+α），
又知道f（x）+fˋ（x）是奇函数，
所以cos（√3x+α）-√3*sin（√3x+α）=cos[√3*(-x)+α]-√3*sin[√3*(-x）+α]，
解上述等式可得tanα=（√3）/3，α=30度。

③已知锐角△ABC的面积为3√3，BC=4，CA=3，
画图后可清楚知道，设垂直于BC边的高位h，h为：
(4*h)/2=3√3, h=(3√3)/2,
角C的正弦为：sinC=h/CA=[(3√3)/2]/3=(√3)/2,
所以角C的大小为60度，选择选项B。