n(x+√(x^2+1))是奇函数。
首先判断定义域,是R
因为f(x)=ln(x+√(x^2+1))
所以f(-x)=ln(-x+√(x^2+1))
所以f(x)+f(-x)
=ln(x+√(x^2+1))+ln(-x+√(x^2+1))
=ln[(x+√(x^2+1))(-x+√(x^2+1))]
=ln[(x^2+1)-x^2]
=ln1
=0
所以f(-x)=-f(x)所以f(x)是奇函数。
函数的奇偶性:
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数)。
偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性,即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上是减函数(增函数)。但由单调性不能代表其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。
解题过程如下:
f(x)=ln(x+√(x^2+1))
所以f(-x)=ln(-x+√(x^2+1))
所以f(x)+f(-x)
=ln(x+√(x^2+1))+ln(-x+√(x^2+1))
=ln[(x+√(x^2+1))(-x+√(x^2+1))]
=ln[(x^2+1)-x^2]
=ln1
=0
奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= - f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。
1727年,年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文(原文为拉丁文)中,首次提出了奇、偶函数的概念。
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