子群的定义是啥子群的定义是啥

Question

如题所述

Answer 1

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。 [2]

群的概念
一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。
设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：
(1)封闭性，a·b∈G;
(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。
满足交换律的群，称为交换群。
群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

Answer 2

可设有限阶元素的集合为H
任取a,b属于H ,由于a,b是有限阶的。
即存在n,m a^n=1 b^m=1
可知：(ab)^nm=1 所以ab是有限阶的。即ab属于H。（关于乘法封闭）
另外，a^n=1则 a^(n-1)即为a的逆元。（有逆元）
单位元e是有限阶的。e属于H。 （有单位元）
由此即可知H是一个子群。