咳嗽喉咙痛应该挂呼吸科或耳鼻喉科。
解释：
1. 症状分析：咳嗽和喉咙痛是常见的症状，可能由多种原因引起，如感冒、咽喉炎、支气管炎等。这些症状主要与呼吸系统的疾病有关，因此，首先应考虑挂呼吸科进行初步的诊断和治疗。
2. 专业科室的选择：
- 呼吸科：主要处理与呼吸系统相关的疾病，包括上呼吸道感染、支气管炎、肺炎等。如果咳嗽喉咙痛的症状是由这些疾病引起的，呼吸科是首选科室。
- 耳鼻喉科：喉咙痛可能涉及到咽喉部的疾病，如咽喉炎、扁桃体炎等。这些疾病与耳鼻喉部位直接相关，因此，耳鼻喉科也是可以考虑的科室。
3. 就诊建议：当遇到咳嗽喉咙痛的症状时，可以先挂呼吸科进行初步检查。医生会根据症状进行初步判断，如果需要进一步详细检查咽喉部位，可能会建议患者转诊到耳鼻喉科。
4. 注意事项：就医时，除了描述主要症状外，还应告知医生症状的持续时间、加重或缓解的情况以及是否有其他相关病史，这些信息有助于医生做出更准确的诊断。
总的来说，针对咳嗽喉咙痛的症状，可以首先选择挂呼吸科，如果医生认为有必要进一步检查咽喉部位，可能会推荐到耳鼻喉科进行详细检查。