模型论的数学上的研究

Question

如题所述

Answer 1

数学上，模型论是研究数学对象用集合论的属于表示数学概念的学科，或者是研究数学系统的组成模型的学科。它假定存在一些预先存在的数学对象，然后研究，给定这些对象、操作或者对象间的关系、以及一组公理时，什么可以被证明，如何证明的问题。
选择公理和连续统假设与集合论其他公理的独立性(由Paul Cohen和哥德尔证明)是模型论中产生的最著名的结果。选择公理和其逆命题都被证明和集合论的策墨罗-弗兰克公理相容；同样的结果对于连续统假设也成立。这些结果是公理化集合论的一部分，而那是模型论的一个特定应用。
实数的理论给出了模型论概念的一个例子。我们从个体的一个集合开始，其中每个个体都是一个实数，还有一个关系和(或)函数的集合，例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我们在这种语言中有一个类似于"∃ y (y × y = 1 + 1)"的问题，那么很清楚这个句子对于实数是真的 - 确实存在这样的一个实数y, 也就是2的平方根；对于有理数，这个句子却是假的。一个类似的命题，"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中是假的，但在复数中是真的，因为 i × i = 0 − 1。
模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的，以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。