求解一道大一高数题！（2015.2.5A）求通解，有过程优先采纳！

Question

如题所述

Answer 1

【分析】
一阶齐次方程 y ' =f(y/x)
令 u =y/x ，则 y = ux， y '= u+xdu/dx，
于是，原方程 ——→ u + xdu/dx =f(u) ——→ ∫du/[f(u)-u] = lnx + C

【解答】
方程两端除以 x，得
[ y/x + √（1+y²/x²）]dx - dy= 0
即 dy/dx = y/x + √（1+y²/x²）
属于 一阶齐次方程 y ' =f(y/x)
令 u =y/x
所以 ∫du/[f(u)-u] = lnx + C f（u）=u+√（1+u²）
积分得
ln|u+√（1+u²）| = lnx + C
u + √（1+u²）= Cx
y + √（x²+y²）= Cx²

newmanhero 2015年2月5日10:56:11

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

(x>0) y'=(y/x+根号(1+（y/x）^2)) y/x=t dy/dx=(tdx/dt+x)/(dx/dt)=t+xdt/dx
代入
t+xdt/dx=t+根号(1+t^2)
(1/x)dx=dt/根号(1+t^2) t=tana ∫dt/根号(1+t^2)=∫cosa/(cosa)^2da=∫1/(1-(sina)^2)d(sina)=（1/2）ln（(1+sina）/(1-sina))+c=(1/2)ln((根号(1+t^2)+t)/(根号(1+t^2)-t))+c
lnx=(1/2)ln((根号(1+t^2)+t)/(根号(1+t^2)-t))+c x=根号((根号(1+t^2)+t)/(根号(1+t^2)-t)k
y=t根号((根号(1+t^2)+t)/(根号(1+t^2)-t)k t任意实数
X<0 y'=(y/x-根号(1+（y/x）^2))
ln(-x) =-(1/2)ln((根号(1+t^2)+t)/(根号(1+t^2)-t))+c x=-根号((根号(1+t^2)-t)/(根号(1+t^2)+t)k
y=-t根号((根号(1+t^2)-t)/(根号(1+t^2)+t)k t任意实数(k常数)

Answer 3

追问

个人觉得后面那位同学的过程比较适合我。。不好意思喔😓

追答

晕，方法是一样的，没有理由啊