设抛物线y^2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是

Question

请详细说明，为什么准线x=-2
Q(-2,0)
斜率是k
则直线是y=k(x+2)=kx+2k
谢谢！
why直线是y=k(x+2)=kx+2k？

Answer 1

郭敦顒回答：
∵在抛物线的标准方程y²=2px （p＞0）中，顶点在原点O，开口向右，准线x=－p/2，
∴在抛物线y²=8x中，2p=8，p=4，∴准线x=－p/2=－2，
准线与X轴的交点为Q，∴点Q的坐标为Q（－2，0），
已知抛物线y²=2px （p＞0）的切线的斜率k，那么它的切线方程是：
y=kx+ p/2 k，∵p=4，∴y=kx+ 2k，k=y/（x+2）
（将Q（－2，0）代入y=kx+ 2k得，0=－2k+2k，这无意义了。）
设过Q的直线l为抛物线的切线，切点为R，且斜率为k，切点坐标为R（a，b），
将Q（－2，0）代入切线方程得，b =ka + 2k，k=（b－0）/（a+2），k=b/（a+2）
（按两点式直线方程进行推导，也得上面的结果）；
R（a，b）代入抛物线方程得，b²=8a，a=b²/8，代入k=b/（a+2）得，
k=b/（b²/8+2），
对k求导并等于0得，
k′=[ b/（b²/8+2）] ′=[1（b²/8+2）－b•b/4]/[ （b²/8+2）] ²=0，
∴（b²/8+2）－b•b/4=0，b²=16，b=±4
将b=±4代入k=b/（b²/8+2）得，k1=b/（b²/8+2）=4/4=1，k2=－1
∴k的取值范围是：[－1，1]。追问

为什么
已知抛物线y²=2px （p＞0）的切线的斜率k，那么它的切线方程是：
y=kx+ p/2 k，

追答

郭敦顒继续回答：
抛物线y²=2px （p＞0）切线斜率为k的切线方程的推导：
设切点为R，且斜率为k，切点坐标为R（a，b），直线方程的点斜式，切线方程为，y－b=k（x－a），y=kx－ka+ b （1）
将R（a，b）代入y²=2px得，b²=2pa，a=b²/2p （2）
（2）代入（1）得，y=kx－kb²/2p + b （3）
对y²=2px两边求导得， 2yy'=2p ∴ y‘=p/y，
∴k= y‘=p/ b，b= p/ k （4）
（4）代入（3）得，y=kx－k（p/ k）²/2p + p/ k
= kx－p/ 2k+ p/ k= kx+ p/2 k，
∴y= kx+ p/2 k
∴抛物线y²=2px （p＞0）切线斜率为k的切线方程是：
y= kx+ p/2 k

Answer 2

对于y2=2px类抛物线，焦点为（p/2, 0), 准线为x= -p/2。常识，证明可用待定系数法，就是比较麻烦。从焦点的实际意义出发，可理解为平行光经反射后的汇聚点。由此类抛物线的对称性可知一定在x轴上。既然已经知道所有的光都会交于一点，找到那条反射后与x轴垂直的光即可。反射前与x平行，反射后与x垂直，抛物线在反射位置的切线斜率为1。x=(1/2p)y2. x' = y/p= 1; y= p; x = p/2.

过点（x0,y0)斜率为k的直线：y-y0=k(x-x0)
则过点（-2，0）斜率为k的直线为：y-0=k(x-(-2))

这道题目的是解k，可以列方程但太麻烦。临界条件是相切，把抛物线的切线设出来
y-sqrt(2p*x0)=sqrt(p/x0)(x-x0)

然后让其通过（-2，0）即可求出x0
k=sqrt(p/x0)
然后就搞掂了