高数c证明题这题怎么做

Question

如题所述

Answer 1

这里需要一个定理 如果函数f(x)在区间 I 上的导数恒为0，那么f(x)在区间 I 上是一个常数
证明如下
设 f(x)=arctanx+arccotx
对其求导 f`(x) = 1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0
所以f(x)=C C为一个常数
不妨设 x=1/2 f(1/2)= π/4+π/4=π/2
即 f(x)=π/2
证毕。

Answer 2

考察函数 F(x)=f(x)-x，
有 F(0) = f(0)>0，F(1)=f(1)-1<0，
由于可微，因此由介值定理，存在 x∈（0，1） 使 F(x)=0，
又 F'(x)=f'(x)-1≠0，所以函数 F(x) 在（0，1）内单增或单减，
因此只有一个 x 使 F(x)=0，即 f(x)=x。