高一数学问题:如图这个函数为什么如何分析它的单调递增、递减区间？为什么图像是两个抛物线？

Question

高一数学问题:如图这个函数为什么如何分析它的单调递增、递减区间？为什么图像是两个抛物线？

Answer 1

这是“对勾函数”
分析单调性的话，就要分析其特殊点
它的特殊点。第一个是x=0
第二个是x=k/x即x=±√k，这个事均值定理的内容
第三个是特殊的线，即y=x，这是斜渐近线
对这个函数，如果用定义去判断增减性的话，要用到后面一些的知识
如果是用导数判断的话，比较简单，但是高一还早了些....
所以，记住就好了.....后面学到自然会理解的追问

1、为什么第二个特殊值要取：x=k/x即x=±√k， 不应该是x=-k/x吗？
2、即使要拆分的话，不是应该拆分成 y=x 、 y=k/x吗？
3、可以大概结合均值定理讲解下嘛？

Answer 2

单调区间描述如图上所示，递减区间写(-√k,√k)就错了
图像并不是两个抛物线，而是两支双曲线，俗称对勾函数
望采纳，谢谢！不理解可追问追问

1、为什么第二个特殊值要取：x=k/x即x=±√k， 不应该是x=-k/x吗？
2、即使要拆分的话，不是应该拆分成 y=x 、 y=k/x吗？
3、可以大概结合均值定理讲解下嘛？

追答

定性的想一下函数图像的大概样子，

x趋于+0时，k/x趋于正无穷，x趋于0，两者的和趋于正无穷

x趋于正无穷时，k/x趋于0，x趋于正无穷，两者的和趋于正无穷

当你随便带个数，比如x=1，那么函数值为1+k,是个有限的值，那么图像就能大致画出来

接下来求最低点的横坐标，即求拐点，先求大于0的，小于0的部分根据奇偶性确定

用均值不等式

a=x,b=k/x,等式成立的条件是a=b，即x=k/x，解得x=√k，即拐点横坐标是√k，所以分界点是x=±√k

Answer 3

供参考。

追答

是不是你需要问的问题？

追问

这是什么定理？好像高中没有讲解过？ 而且如果不懂的话，应该按照什么思路分析？ 有点深

追答

一般在分析图像时用到。

你需要证明单调性？

追问

是的，（1）一方面要证明单调性是如何分析出来的？ （2）另一方面想知道图像是怎样得出来的？ （3） 既然y=k/x 图像是双曲线，为什么y=x+k/x 还是双曲线？

追答

(2)已经阐述

(3)它的图像不是双曲线。

追问

为什么可以直接跳到从（0，√k），（√k，正无穷）分类分析？

追答

第6，7两行仔细看