求z=cos(x^2+y^2)在原点处的泰勒公式

Question

如果直接求：偏z偏x=-2xsin（x^2+y^2) 偏z偏y=-2ysin(x^2+y^2)
偏偏z偏x^2 = -2sin(x^2+y^2)-4x^2cos(x^2+y^2)
偏偏z偏y^2 = -2sin(x^2+y^2)-4y^2cos(x^2+y^2)

偏偏z偏xy = -4xycos（x^2+y^2)

带入原点 J矩阵和H矩阵都为零矩阵
得 z= 1 + o（||x||^2)

变量代换：
令 t = x^2+y^2
z=1 - 0.5*t^2 + o(t^2）
z=1 - 0.5*（x^2+y^2)^2+o(||x||^2)
两者答案不同，且标答是
z = 1+0.5*（2x^2+2y^2)+o(||x||)
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请问上述求法哪里错了，应该怎么做

Answer 1

公式z= 1 + o（||x||^2)中的 o（||x||^2) 是高阶无穷小， ||x||是指根号（x^2+y^2）^(1/2)
z=1 - 0.5*（x^2+y^2)^2+o(||x||^2)中的o(||x||)应为o(||x||^4)，因为（x^2+y^2)^2=O(||x||^4)=o（||x||^3)与上述公式不矛盾。
标答可能有问题。