一道高中数学解析几何小题

Question

求解，谢谢

Answer 1

解：见下图。将抛物线方程代入双曲线方程中，方程两边同时乘以（ab)^2,有：

1、求P点坐标：b^2x^2-2pa^2x-(ab)^2=0........(1);    (p/2)=c,p=2c.....(2)

△=(-2pa^2)^2-4b^2[-(ab)^2]=4a^2[(pa)^2+b^4]=4a^2[4(a^2+b^2)a^2+b^4]

=[2a(2a^2+b^2)]^2;

x1,2={2pa^2+/-2a(2a^2+b^2)}/(2b^2)(取正数，负值舍去）

Px=[pa^2+a(2a^2+b^2)]/b^2=[2ca^2+a(2a^2+b^2)]/b^2;    

Py=+/-√(2px)=+/-2√cx;    å¾—P点坐标：（Px,Py)

2、求e：PF1=√[(c-Px)^2+(0-Py)^2]=√[(c-Px)^2+(4cPx)].......(3)

依题意：1/cos^2∠PF1F2=(PF1)^2/(c-Px)^2=1+(4cPx)/(c-Px)^2=(7/5)^2=1+24/25

4cPx*25=24(c^2-2cPx+Px^2);  6Px^2-37cPx+6c^2=(Px-6c)(6Px-c)=0

Px1=6c,Px2=c/6;

6cb^2=2ca^2+a(2a^2+b^2);    2c(3b^2-a^2)=a(2a^2+b^2)....(4);

得：e=c/a=(2a^2+b^2)/(6b^2-2a^2)=2,3,√2,√3;(经验证，没有符合条件的答案。）

3、计算e的值：e(6b^2-2a^2)=2a^2+b^2;(6e-1)b^2=(2e+2)a^2;b^2=(2e+2)a^2/(6e-1);

a^2+b^2=a^2[1+(2e+2)/(6e-1)a^2;方程两边同时除以a^2,得：

e^2=(a^2+b^2)/a^2=(8e+1)/(6e-1);    e^2(6e-1)=8e+1;即：6e^3-e^2-8e-1=0;

6e^3-e^2-7e-(e+1)=e(6e^2-e-7)-(x+1)=e(6e-7)(e+1)+(e+1)=(e+1)(6e^2-7e-1)=0;

e=-1(不合理，舍去）；则：(6e^2-7e-1)=0；e=(7+/-√73)/12因为e>0,e=(7+√73)/12;

cb^2/6=2ca^2+a(2a^2+b^2);c(b^2-12a^2)=6a(2a^2+b^2)；

e=c/a=6(2a^2+b^2)/(b^2-12a^2);有：e(b^2-12a^2)=12a^2+6b^2;

(e-6)b^2=12(e+1)a^2;    c^2=a^2+b^2=[1+12(e+1)/(e-6)]a^2=(13e+6)a^2/(e-6)

e^2(e-6)-(13e+6)=e^3-6e^2-13e-6=e(e-7)(e+1)-(e+1)=(e+1)(e^2-7e-1)=0;

同理：e=(7+/-4√3)/2;e=(7+4√3)/2。

经计算，没有符合条件的答案。

我找了很长时间，没有发现解题的错误之处。不排除计算有出错；但是实在找不到出错的位置。请你再核实一下。

Answer 2

希望可以帮到你

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Answer 3

这个解题思路，参考一下吧。